พื้นฐานทางคณิตศาสตร์

เราเริ่มต้นด้วยสมการการนำความร้อนทั่วไป ซึ่งเป็นการกล่าวถึงการอนุรักษ์พลังงานอย่างต่อเนื่องภายในสื่อทางกายภาพ:

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( k \frac{\partial u}{\partial z} \right) = c \rho \frac{\partial u}{\partial t}$$

ที่นี่ $u(x, y, z, t)$ แทนการกระจายอุณหภูมิ ในขณะที่ $k$, $c$, และ $\rho$ แทนคุณสมบัติทางกายภาพของสื่อ แม้ว่าสมการนี้จะสวยงาม แต่สัมประสิทธิ์ที่เปลี่ยนแปลงได้บ่อยครั้งทำให้มันยากต่อการวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์

การลดความซับซ้อนด้วยสมมติฐานของความเป็นไอโซโทรปิก

เพื่อข้ามสะพานสู่การคำนวณ เราใช้ข้อจำกัดหลักที่ลดความซับซ้อน: สมมติฐานของ วัตถุที่มีลักษณะเป็นไอโซโทรปิก.

ภายใต้สมมติฐานนี้ $k$ จะกลายเป็นค่าคงที่เมื่อเทียบกับอนุพันธ์ตามพื้นที่ ซึ่งทำให้เราสามารถลดกฎควบคุมให้เป็นรูปแบบที่คุ้นเคย รูปแบบลาปลาซีอัน:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{c \rho}{k} \frac{\partial u}{\partial t}$$

สะพานสู่ความเป็นจริง

พิจารณาแท่งทองแดงยาวและบางขนาดความยาว $l$ แม้ว่าแคลคูลัสจะช่วยให้เราเขียนสมการพีดีอีอันดับสองที่เรียบง่ายสำหรับการกระจายอุณหภูมิของมัน แต่การเปลี่ยนแปลงใดๆ ในสภาพแวดล้อมของแท่งหรือแหล่งความร้อนภายในจะทำให้การแก้ปัญหาด้วยกระดาษและปากกาเกือบเป็นไปไม่ได้ การเปลี่ยนไปใช้การคำนวณนั้นจำเป็นต้องแก้สมการเหล่านี้ในรูปทรงเรขาคณิตจริงที่ไม่มีคำตอบเชิงวิเคราะห์ที่เปิดเผย